[신호처리] 푸리에 급수와 변환 말풀이

Signal

대부분의 signal은 time에 대한 함수 f(t)로 표현됨

또한 space의 함수거나 space와 time의 함수임 => 각각 사진과 동영상

 

Continuous vs digital

continuous-time signal은 모든 시간상 점에 대해 value를 갖고

discrete-time signal은 discrete된 시간상 점에 대해서만 value를 가짐 => some information을 잃음 따라서 sampling은 ambiguity를 낳음

차이는 조금 있지만 CT가 아날로그, DT가 디지털 signal이라고 보면 됨

 

Sampling

continuous-time signal을 discrete로 convert하는 과정임

 

Signal processing 장단점

아날로그 신호는 processing 종류에 limit이 있고, noise에 민감하고, data 저장 및 전달 비용이 높음

근데 디지털 신호 processing는 data 저장/전달이 effective해서 훨씬 더 정교한 processing 함수도 구현할 수 있음

ex) 포토샵: 디지털 사진의 색감/대비/선명도 등 바꾸는 거 쉬움 돈도 안 듦

 

Convolution Integral

LTI system의 output은 input과 impulse response의 컨볼루션으로 나타남

y(t)=x(t)*h(t)

h(t)만 알면 any input x(t)에 대한 output y(t)을 알 수 있음

 

Fourier Series

만약 f(t)가 fundamental period가 T0인 주기함수면 푸리에 급수로 나타낼 수 있음

f(t)=ΣDn*e^(jnΩt)

여기서 e^(jnΩt)는 이제 지수함수 말고 cos과 sin 조합의 삼각함수로 봐야함 (오일러법칙 적용하는 거임)

여기서 Dn은 1/T0 인테그랄 f(t)*e^(-jnΩt) dt 임 아 수식 나타내기 어렵네...

인테그랄 범위는 τ~τ+T0으로, 간격이 T0임 => f(t)의 기본주기 사이에서 적분하는 거임

 

f(t)=D0*e^0 + D1*e^(jΩt) + D2*e^(j2Ωt) + ...

'fundamental frequency가 nΩ인 e^(jnΩt)'에 Dn이 곱해져서 summation 됨

즉, f(t)는 weighted된 sinusoids의 summation임

참고로 n이 커질 수록 frequency는 커지고 period는 작아짐 (Ω=2π/T니까 Ω와 T는 당연히 반비례 관계임)

t domain에서는 compressed 하게 그려지고, Ω domain에서는 간격이 커짐

 

Summary of Fourier Series

Dn은 각각의 e^(jnΩt)가 original singal인 f(t)에 얼만큼 contribute하는가를 의미함

ex) D2가 크면 클 수록 f(t)가 e^(j2Ωt)(=sinusoidal component)를 많이 contain함

Dn=rn*e^(j∅n)으로도 표현되는데 (극좌표)

• rn은 magnitude로, e^(jnΩt)가 위아래로 얼마나 scale되는지
• e^(j∅n)는 phase로, e^(jnΩt)가 좌우로 얼마나 왔다갔다 하는지에 관여함

 

Fourier Series for aperiodic

푸리에 급수는 푸리에 변환(주기함수를 frequency domain으로 표현하는 것)을 가능케함 

그럼 f(t)가 비주기함수면? frequency domain으로 못나타냄?

아님 aperiodic signal을 repeat over time 해서 periodic singal로 표현하면 됨

• 비주기: T0->∞ 함에 따라 Ωs->0, Dn은 Ω에 대해 continuous function으로 나타남
• 주기: T0=T0이므로 Ωs=2π/T0, Dn은 samples로 나타남

그저 periodic interval T0가 길어질 수록 sampling interval이 smaller 해짐